Question

先閱讀，再填空解題：
（1）方程：x²-x-12=0的根是：x₁=-3，x₂=4，則x₁+x₂=1，x₁•x₂=-12；
（2）方程2x²-7x+3=0的根是：x₁=______，x₂=3，則x₁+x₂=______，x₁•x₂=；
（3）方程x²-3x+1=0的根是：x₁=______，x₂=______．
則x₁+x₂=______，x₁•x₂=______；
根據(jù)以上（1）（2）（3）你能否猜出：
如果關(guān)于x的一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0且m、n、p為常數(shù)）的兩根為x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁、x₂與系數(shù)m、n、p有什么關(guān)系？請寫出來你的猜想并說明理由．

Answer 1

解：（2）2x²-7x+3=0．
（2x-1）（x-3）=0．
∴x₁=，x₂=3，則x₁+x₂=，x₁•x₂=．

（3）x²-3x+1=0．
（x-）（x-）=0．
∴x₁=，x₂=．
x₁+x₂=3，x₁x₂=1．
猜想：x₁+x₂=-，x₁x₂=．
∵一元二次方程mx²+nx+p=0（m≠0，且m，n，p為常數(shù)）的兩實數(shù)根是：
x₁=，x₂=．
x₁+x₂=+=-．
x₁x₂=•==．
分析：觀察（1）可知是利用因式分解法解方程，常數(shù)項是兩根之積，一次項系數(shù)是兩根之和的相反數(shù)；
（2）這個方程與（1）的區(qū)別是二次項系數(shù)不是1，所得兩根的和是-，兩根的積是；
（3）直接利用（1）（2）中所得規(guī)律求解即可．
點評：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．根與系數(shù)的關(guān)系為：x₁+x₂=-，x₁•x₂=．要求熟練運用此公式解題．