Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），C（1，0），tan∠BAC=．
（1）求過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP=DQ=m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請(qǐng)求出m的值；如不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)A（﹣3，0），C（1，0）， ∴AC=4，BC=tan∠BAC×AC=×4=3，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）， 設(shè)過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b， 由得，， ∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為 （2）如圖，過點(diǎn)B作BD⊥AB，交x軸于點(diǎn)D， 在Rt△ABC和Rt△ADB中， ∵∠BAC=∠DAB， ∴Rt△ABC∽R(shí)t△ADB， ∴D點(diǎn)為所求， 又tan∠ADB=tan∠ABC=， ∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷， ∴OD=OC+CD=，∴D（，0）； （3）這樣的m存在． 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=5， 如圖1， 當(dāng)PQ∥BD時(shí)，△APQ∽△ABD，則， 解得， 如圖2， 當(dāng)PQ⊥AD時(shí)，△APQ∽△ADB， 則， 解得．