Question

在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=9cm，AB的垂直平分線(xiàn)交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分線(xiàn)交BC于N，交AC于F，
（1）求證：BM=MN=NC．
（2）求MN的長(zhǎng)度．

Answer 1

解：（1）證明：連接AM、AN，
在△ABC中，∠A=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
又∵M(jìn)E、NF分別垂直平分AB、AC，
∴AM=BM，AN=NC，
∴∠MBA=∠MAB=30°，∠NAC=∠NCA=30°，
∴∠MAN=60°，
在△ABM和△ANC中
，
∴△ABM≌△ANC，
∴AM=AN，
△AMN為等邊三角形，
∴AM=MN=AN，
∴BM=MN=NC．

（2）由（1）知：MN=BC=3（cm），
答：MN的長(zhǎng)度是3cm．
分析：（1）連接AM、AN，根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)推出BM=AM，CN=AN，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAM=∠CAN，∠B=∠C，根據(jù)ASA證△BAM≌△CAN，推出AM=AN，證出△AMN是等邊三角形即可；
（2）代入MN=BC，即可求出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)定理，等邊三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，通過(guò)做此題能培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題型較好，難度適中，綜合性比較強(qiáng)．