Question

已知：直線y=ax+b與拋物線y=ax²﹣bx+c的一個(gè)交點(diǎn)為A（0，2），同時(shí)這條直線與x軸相交于點(diǎn)B，且相交所成的角β為45°．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）求拋物線y=ax²﹣bx+c的解析式；

（3）判斷拋物線y=ax²﹣bx+c與x軸是否有交點(diǎn)，并說(shuō)明理由．若有交點(diǎn)設(shè)為M，N（點(diǎn)M在點(diǎn)N左邊），將此拋物線關(guān)于y軸作軸反射得到M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，軸反射后的像與原像相交于點(diǎn)F，連接NF，EF得△DEF，在原像上是否存在點(diǎn)P，使得△NEP的面積與△NEF的面積相等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線y=ax+b過(guò)A（0，2），同時(shí)這條直線與x軸相交于點(diǎn)B，且相交所成的角β為45°，

∴OA=OB，

∴當(dāng)a＞0時(shí)，B（﹣2，0），當(dāng)a＜0時(shí)，B（2，0）；

 

（2）把A（0，2），B（﹣2，0）代入直線y=ax+b得；，

解得：，

把A（0，2），B（2，0）代入直線y=ax+b得，

解得：，

∵拋物線y=ax²﹣bx+c過(guò)A（0，2），

∴c=2，

∴拋物線的解析式為：y=x²+2x+2或y=﹣x²+2x+2．

 

（3）存在．

如圖，拋物線為y=x²+2x+2時(shí)，b²﹣4ac=4﹣4×1×2＜0，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，

拋物線為y=﹣x²+2x+2時(shí)，b²﹣4ac=4﹣4×（﹣1）×2＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；

∵軸反射后的像與原像相交于點(diǎn)F，則F點(diǎn)即為A點(diǎn)，

∴F（0，2）

∵△NEP的面積與△NEF的面積相等且同底，

∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或﹣2，

當(dāng)y=2時(shí)，﹣x²﹣2x+2=2，解得：x=﹣2或x=0（與點(diǎn)F重合，舍去）；

當(dāng)y=﹣2時(shí)，﹣x²﹣2x+2=﹣2，解得：x=﹣1+，x=﹣1﹣，

∴存在滿足條件的點(diǎn)P，點(diǎn)P坐標(biāo)為：（﹣2，2），（﹣1+，﹣2），（﹣1﹣，﹣2）．