Question

點(diǎn)P為線段AB的中點(diǎn)，分別過(guò)線段AB的端點(diǎn)A、B作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D，連接PC、PD．
（1）當(dāng)直線l過(guò)線段AB的中點(diǎn)P，如圖1，猜想PC、PD的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出你的猜想）；
（2）當(dāng)直線l過(guò)線段AB上的任一點(diǎn)，如圖2，猜想PC、PD的數(shù)量關(guān)系并加以證明；
（3）當(dāng)直線l過(guò)線段AB的延長(zhǎng)線上的任一點(diǎn)，按照題意畫(huà)出圖形，并判斷△PCD的形狀（不必證明）．

Answer 1

分析：（1）PC=PD，理由為：由AC與BD都與直線l垂直，利用垂直的定義得到一對(duì)直角相等，再由P為AB的中點(diǎn)，得到AP=BP，由對(duì)頂角相等得到一對(duì)角相等，利用AAS可得出三角形ACP與三角形BDP全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可得出PC=PD；
（2）PC=PD，理由為：延長(zhǎng)CP，交BD于點(diǎn)E，由AC與BD都與直線l垂直，得到AC與BD平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，由P為AB的中點(diǎn)，得到AP=BP，再由一對(duì)對(duì)頂角相等，利用ASA得到三角形ACP與三角形BEP全等，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到P為CE的中點(diǎn)，利用直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到CP=DP；
（3）作出相應(yīng)的圖形，如圖所示，△PCD為等腰三角形，理由為：延長(zhǎng)DP與CA的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，利用AAS得到三角形APM與三角形BPD全等，可得出直角三角形CMD中斜邊MD的中點(diǎn)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得出PD=PC，即△PCD為等腰三角形．

解答：解：（1）PC=PD，理由為：
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACP=∠BDP=90°，
∵P為AB的中點(diǎn)，∴AP=BP，
在△ACP和△BDP中，

∠APC=∠BPD ∠ACP=∠BDP AP=BP

，
∴△ACP≌△BDP（AAS），
∴PC=PD；

（2）如圖2所示，延長(zhǎng)CP，交BD于點(diǎn)E，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACD=∠BDC=90°，
∴AC∥BD，
∴∠A=∠B，
又P為AB的中點(diǎn)，
∴AP=BP，
在△APC和△BPE中，

∠A=∠B AP=BP ∠APC=∠BPE

，
∴△APC≌△BPE（ASA），
∴CP=EP，
在Rt△CDE中，DP為斜邊CE上的中線，
則DP=PC=

1

2

CE；

（3）如圖，△PCD為等腰三角形，理由如下：
延長(zhǎng)DP與CA的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，
∵AC⊥l，BD⊥l，
∴∠ACD=∠BDC=90°，
∴AC∥BD，
∴∠M=∠BDP，
又P為AB的中點(diǎn)，
∴AP=BP，
在△APM和△BPD中，

∠MPA=∠DPB ∠M=∠BDP AP=BP

，
∴△APM≌△BPD（AAS），
∴MP=DP，即P為MD的中點(diǎn)，
在Rt△CDM中，CP=PD=

1

2

DM，
則△PCD為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，以及平行線的判定與性質(zhì)，作出相應(yīng)輔助線，構(gòu)造全等三角形是解本題第2、3問(wèn)的關(guān)鍵．