Question

已知，如圖，在△ABC中AB＝AC，點(diǎn)P是△ABC的中線AD上的任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合．將線段AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)到AQ，使.∠PAQ=∠BAC，連接BP,CQ．

1.求證：BP=CQ

2.設(shè)直線BP與直線CQ相交于點(diǎn)E，∠BAC=α，∠BEC=β, ①若點(diǎn)P在線段AD上移動（不與點(diǎn)A重合），則“α與β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由． ②若點(diǎn)P在直線AD上移動（不與點(diǎn)A重合）．則α與β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

 

1.證明：由題意得：AP＝AQ,∠PAQ=∠BAC

所以∠PAQ-∠PAC=∠BAC=∠PAC,即∠BAP=∠CAQ                             2分

又AB=AC

所以∆ABP≅∆ACQ                                                     3分

所以BP=CQ

2.解：①若點(diǎn)P在線段AD上移動（不與點(diǎn)Ａ重合），則α＝β，            5分

理由如下：由（1）知∆ABP≅∆ACQ

所以：∠ABP=∠ACQ                                                      6分

在∆ABO和∆ECO中，∠AOB=∠EOC,所以∠BAC=∠BEC

即α＝β                                                                8分

②若點(diǎn)P在直線AD 上移動（不與點(diǎn)A重合），則α與β之間的數(shù)量關(guān)系是相等或互補(bǔ)。10分

【解析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求證