Question

如圖，拋物線y=（x-1）²+m與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連BC交對稱軸于G點，且BG=2CG．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有兩動點M、N（點M在點N的下方），且MN=6，若四邊形ACMN的周長最小，試求AN+CM的長．
（3）在第一象限的拋物線上是否存在點P，使tan∠APC=

1

3

？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點D，則DG∥OC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，得BD：OB=BG：CG=2，則BD=2OD，求出B點的橫坐標(biāo)是3，再將B（3，0）代入y=（x-1）²+m，利用待定系數(shù)法，即可求出拋物線的解析式；
（2）由于AC與MN的長度都是定值，所以當(dāng)四邊形ACMN的周長最小時，AN+CM最�。畬ⅫcC向上平移6個單位得C′，連接BC′交對稱軸于點N，再將點N向下平移6個單位即得到點M，則AN+CM=BC′最小，運用勾股定理即可求出BC′的長度；
（3）在x軸正半軸上取一點D，使OD=9．由正切函數(shù)的定義得tan∠ADC=

1

3

=tan∠APC，則∠ADC=∠APC，得到A、C、D、P四點共圓，∠ACD=90°，由圓周角定理得出AD是直徑，∠APD=90°．設(shè)在第一象限的拋物線上存在點P（x，y），使tan∠APC=

1

3

，則x＞0，y＞0．在△APD中，由勾股定理，得AP²+PD²=AD²，列出關(guān)于x的方程，化簡整理，得y²=（x+1）（9-x），將y=x²-2x-3=（x+1）（x-3）代入，整理，得x³-x²+4x=0，求出x的值，進而得到P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）如圖，設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于點D，則DG∥OC，
∵BG=2CG，
∴BD：OB=BG：CG=2，
∴BD=2OD，
∴B點的橫坐標(biāo)是3．
將B（3，0）代入y=（x-1）²+m，
得4+m=0，解得m=-4．
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3；

（2）如圖，將點C（0，-3）向上平移6個單位得C′（0，3），連BC′交對稱軸于點N，再將點N向下平移6個單位得點M，則AN+CM最�。�
∵CC′∥MN，CC′=MN=6，
∴CC′NM是平行四邊形，
∴C′N=CM．
∵A、B兩點關(guān)于MN對稱，
∴BN=AN，
∴AN+CM=BN+C′N=BC′．
∵B（3，0），C′（0，3），
∴BC′=

OB2+OC′2

=3

2

，
即四邊形ACMN的周長最小時，AN+CM的長為3

2

；

（3）如圖，在x軸正半軸上取一點D，使OD=9．
∵tan∠ADC=

OC

OD

=

3

9

=

1

3

，tan∠APC=

1

3

，
∴tan∠ADC=tan∠APC，
∴∠ADC=∠APC，
∴A、C、D、P四點共圓，
易證∠ADC=∠ACO，
∴∠ADC+∠DAC=∠ACO+∠DAC=90°，
∴∠ACD=90°，
∴AD是直徑，∠APD=90°．
設(shè)在第一象限的拋物線上存在點P（x，y），使tan∠APC=

1

3

，則x＞0，y＞0．
∵AP²+PD²=AD²，A（-1，0），D（9，0），
∴（x+1）²+y²+（x-9）²+y²=10²，
化簡整理，得y²=（x+1）（9-x），
∵y=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
∴（x+1）²（x-3）²=（x+1）（9-x），
∵x＞0，∴x+1≠0，
∴（x+1）（x-3）²=（9-x），
化簡整理，得x³-x²+4x=0，
∵x（x-1）（x-4）=0，
∵x＞0，∴x=1或4，
當(dāng)x=1時，y=-4＜0，不合題意舍去；
當(dāng)x=4時，y=5＞0，符合題意．
故所求P點坐標(biāo)為（4，5）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有平行線分線段成比例定理，運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對稱-最短路線問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，四點共圓的條件，勾股定理，綜合性較強，有一定難度．（2）中確定點M、N的位置是關(guān)鍵；（3）中確定點P的位置是關(guān)鍵．