Question

【題目】如圖所示，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O與點(diǎn)A（6，0）兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，交直線y=2x﹣2于點(diǎn)C，且直線y=2x﹣2與x軸交于點(diǎn)D．

（1）求拋物線的解析式，并求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x﹣2的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說明理由；

（3）點(diǎn)P（x，y）是拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長為l，求l與x的函數(shù)關(guān)系式及l(fā)的最大值．

Answer 1

【答案】（1），C（6，10），D（1，0）；（2）A′（﹣2，4），A′在拋物線上；（3）l=，（﹣2＜x≤6），l的最大值為．

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)O（0，0），A（6，0）代入，得：，解得：，∴拋物線解析式為．

當(dāng)x=6時(shí)，y=2×6﹣2=10，當(dāng)y=0時(shí)，2x﹣2=0，解得x=1，∴點(diǎn)C坐標(biāo)（6，10），點(diǎn)D的坐標(biāo)（1，0）；

（2）過點(diǎn)A′作AF⊥x軸于點(diǎn)F，∵點(diǎn)D（1，0），A（6，0），可得AD=5，在Rt△ACD中，CD==，∵點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于直線y=2x﹣2對稱，∴∠AED=90°，∴S△ADC=×AE=×5×10，解得AE=，∴AA′=2AE=，DE==，∵∠AED=∠AFA′=90°，∠DAE=∠A′AF，∴△ADE∽△AA′F，∴，解得AF=4，A′F=8，∴OF=8﹣6=2，∴點(diǎn)A′坐標(biāo)為（﹣2，4），當(dāng)x=﹣2時(shí)，y=，∴A′在拋物線上．

（3）∵點(diǎn)P在拋物線上，則點(diǎn)P（x，），設(shè)直線A′C的解析式為y=kx+b，∵直線A經(jīng)過A′（﹣2，4），C（6，10）兩點(diǎn)，∴，解得：，∴直線A′C的解析式為，∵點(diǎn)Q在直線A′C上，PQ∥AC，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，），∵PQ∥AC，又點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方，∴l=（）﹣（）=，∴l與x的函數(shù)關(guān)系式為l=，（﹣2＜x≤6），∵l==，∴當(dāng)x=時(shí)，l的最大值為．