Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB＝16，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，tan∠ACB＝，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)，（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，D重合），且∠CEF＝∠ACB．

（1）求AC的長(zhǎng)和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求證：；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）AC=20，D（12，0）；（2）見(jiàn)解析；（3）（8，0）或(，0)．

【解析】

（1）在Rt△ABC中，利用三角函數(shù)和勾股定理即可求出BC、AC的長(zhǎng)度，從而得到A點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，進(jìn)而得到D點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）欲證，只需證明△AEF與△DCE相似，只需要證明兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等即可．在△AEF與△DCE中，易知∠CAO＝∠CDE，再利用三角形的外角性質(zhì)證得∠AEF＝∠DCE，問(wèn)題即得解決；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有三種情況，需要分類討論：

①當(dāng)CE＝EF時(shí)，此時(shí)△AEF與△DCE相似比為1，則有AE＝CD，即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

②當(dāng)EF＝FC時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識(shí)易求得CE，再利用（2）題的結(jié)論即可求出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；

③當(dāng)CE＝CF時(shí)，可得E點(diǎn)與D點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，故此種情況不存在．

解：（1）∵四邊形ABCO為矩形，∴∠B=90°，∵AB＝16，tan∠ACB＝，

∴，解得：BC＝12=AO，

∴AC＝20，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣12，0），

∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴D（12，0）；

（2）∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱，∴∠CAO＝∠CDE，

∵∠CEF＝∠ACB，∠ACB＝∠CAO，∴∠CDE＝∠CEF，

又∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠CDE+∠DCE，

∴∠AEF＝∠DCE，∴△AEF∽△DCE．

∴；

（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，有以下三種情況：

①當(dāng)CE＝EF時(shí)，∵△AEF∽△DCE，∴△AEF≌△DCE，

∴AE＝CD＝20，∴OE＝AE﹣OA＝20﹣12＝8，∴E（8，0）；

②當(dāng)EF＝FC時(shí)，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥CE于M，則點(diǎn)M為CE中點(diǎn)，

∴CE＝2ME＝2EFcos∠CEF＝2EFcos∠ACB＝．

∵△AEF∽△DCE，

∴，即：，解得：AE＝，

∴OE＝AE﹣OA＝，∴E(，0)．

③當(dāng)CE＝CF時(shí)，則有∠CFE＝∠CEF，

∵∠CEF＝∠ACB＝∠CAO，

∴∠CFE＝∠CAO，即此時(shí)F點(diǎn)與A點(diǎn)重合，E點(diǎn)與D點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾．

所以此種情況的點(diǎn)E不存在，綜上，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)是（8，0）或(，0)．