Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為D，對(duì)稱軸是直線l，l與x軸交于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PBC周長(zhǎng)的最小值；
（3）若E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ E與A、D不重合），過(guò)E點(diǎn)作平行于y軸的直線交拋物線于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，△ADF的面積為S．
①求S與m的函數(shù)關(guān)系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）+；（3）①，②當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）．

解析試題分析：（1）把A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可；
（2）作B關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)AC交對(duì)稱軸于P，點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)；△PBC得周長(zhǎng)就是AC+BC；
（3）①求出直線AD的解析式，由點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，可以表示出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)；由于F的橫坐標(biāo)也是m，點(diǎn)F在拋物線上，所以可以用m表示出F的縱坐標(biāo)，由S_△ADF =S_△DEF+S_△AEF即可求出S關(guān)于m的表達(dá)式；
②把①中的函數(shù)表達(dá)式化為頂點(diǎn)式，即可求出最大值和點(diǎn)E的坐標(biāo)．
試題解析：（1）由題意可知：，解得：，∴拋物線的解析式為：；
（2）∵，∴C（0，3）．∵△PBC的周長(zhǎng)為：PB+PC+BC，BC是定值，∴當(dāng)PB+PC最小時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，∵如圖1，點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱，∴連接AC交l于點(diǎn)P，即點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．∵AP=BP，∴△PBC的周長(zhǎng)最小值是：PB+PC+BC=AC+BC．∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=，BC=；∴△PBC的周長(zhǎng)最小值=+．

（3）如圖2，①∵拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，4），A（﹣3，0），∴直線AD的解析式為，∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，∴E（m，2m+6），F(xiàn)（m，），
∴EF==，
∴S=S_△DEF+S_△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH==；

②=；∴當(dāng)m=﹣2時(shí)，S最大，最大值為1，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2）．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．