Question

（2002•嘉興）如圖△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，點(diǎn)D在AC邊上，以D為圓心的⊙D與AB切于點(diǎn)E．
（1）求證：△ADE∽△ABC；
（2）設(shè)⊙D與BC交于點(diǎn)F，當(dāng)CF=2時(shí)，求CD的長(zhǎng)；
（3）設(shè)CD=a，試給出一個(gè)a值使⊙D與BC沒(méi)有公共點(diǎn)，并說(shuō)明你給出的a值符合要求．

Answer 1

【答案】分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E為切點(diǎn)，則得到∠AED=90°，已知有一組公共角，則根據(jù)有兩組角相等的兩個(gè)三角形相似可推出△ADE∽△ABC；
（2）連接DF，則DE=DF，設(shè)CD=x，則AD=6-x，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可得到DE的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得DF的長(zhǎng)，則解方程即可得到CD的長(zhǎng)；
（3）取a=3，（可取＜a＜6的任意一個(gè)數(shù)），則AD=3，根據(jù)DE＜AD即可得到DE＜DC從而得到⊙D與BC沒(méi)有公共點(diǎn)．
解答：（1）證明：∵點(diǎn)E是切點(diǎn)
∴∠AED=90°
∵∠A=∠A，∠ACB=90°
∴△ADE∽△ABC；

（2）解：連接DF，則DE=DF
設(shè)CD=x，則AD=6-x
∵△ADE∽△ABC
∴
∴DE=
在RT△DCF中
DF²=x²+CF²=x²+4
∴=x²+4
x²+3x-4=0
∴x=1，x=-4（舍去）
∴CD=1（當(dāng)CD=1時(shí)，0＜x＜6，所以點(diǎn)D在AC上）；

（3）解：取a=3，（可取＜a＜6的任意一個(gè)數(shù)）則AD=AC-CD=3，
∵DE＜AD，
∴DE＜DC，即d＞r，
則⊙D與BC相離，
∴當(dāng)a=3時(shí)，⊙D與BC沒(méi)有公共點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)切線的性質(zhì)，相似三角形的判定及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．