Question

一量角器的直徑與30°的較長(zhǎng)直角板直角邊重合，且直角板Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=6，量角器半⊙O從初始位置（點(diǎn)E與點(diǎn)B重合，EF落在BC上，如左圖所示）在線段BC上沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度平移，半⊙O分別與AB相交于點(diǎn)M，N．當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，半⊙O終止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)半⊙O恰好與AB相切，設(shè)半⊙O平移的時(shí)間為x．
（1）求半⊙O的半徑？
（2）用含x的代數(shù)式表示MN；
（3）求BN的最大值？

Answer 1

解：（1）如圖1，連接OM，設(shè)⊙O的半徑為r，
∵AB與半⊙O相切，
∴OM⊥AB，
∴∠OMB=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴BO=2OM=2，
∴BC=BO+OC=2r+r=3r，
∵BC=6，
∴3r=6，
∴r=2，
答：⊙O的半徑為2；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，
∴∠BDO=90°，
∵∠A=60°，
∴OD=OB=（x+2），
∵∠NDO=90°，
∴OD²+ND²=NO²，
∴（（x+2））²+ND²=2²，
∴ND=，
∵OD⊥MN，
∴MN=2ND=2=；

（3）∵BD=（x+2），DN=，
∴BN=（x+2）+，
設(shè)BN=y，則y=（x+2）+，
∴=y-（x+2），
∴（x+2）²-y（x+2）+y²-4=0，
∵此方程中x+2有實(shí)數(shù)解，
∴b²-4ac=（y）²-4（y²-4）≥0，
∴y²≤16，
∴y≤4，
所以BN的最大值為4．
分析：（1）首先連接OM，設(shè)⊙O的半徑為r，由AB與半⊙O相切，根據(jù)切線的性質(zhì)與直角三角形的性質(zhì)，即可求得r的值；
（2）首先過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于D，由∠A=60°，可得OD=OB=（x+2），然后由OD²+ND²=NO²，列方程即可求得ND的值，又由OD⊥MN，可得MN的值；
（3）由BD=（x+2），DN=，可得BN=（x+2）+，然后設(shè)BN=y，可得（x+2）²-y（x+2）+y²-4=0，又由此方程中x+2有實(shí)數(shù)解，由判別式b²-4ac求得BN的最大值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的判別式等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．