Question

如圖，邊長為3的正方形紙片ABCD，用剪刀沿PD剪下Rt△PCD，其中∠PDC=30°．
（1）求PC的長；
（2）若從余料（梯形ABPD）再剪下另一個Rt△PBQ，使點Q在AB上，則當(dāng)QB的長為多少時，△PBQ∽△DCP？

Answer 1

【答案】分析：（1）此題有兩種解法，法一：根據(jù)在Rt△PCD中，∠C=90°，∠PDC=30°，CD=3，利用銳角三角函數(shù)值即可求得答案．
法二：根據(jù)四邊形ABCD為正方形，∠C=90等已知條件求證PD=2PC，再設(shè)PC=x，利用勾股定理即可求得PC，
（2）此題有兩種解法，由（1）和由正方形ABCD可得∠B=∠C=90°根據(jù)當(dāng)時△PBQ∽△DCP，可求出QB．
法二：由（1）可知，PC=，可得BP，要使△PBQ∽△DCP，則必須有∠BPQ=∠CDP=30°再由tan∠BPQ=可求得QB．
解答：解：（1）法一：在Rt△PCD中，∠C=90°，∠PDC=30°，CD=3，
∵tan∠PDC=，
∴PC=CD•tan∠PDC=3×=．

法二：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠C=90°，
又∵∠PDC=30°，
∴PD=2PC，
設(shè)PC=x，則PD=2x，
在Rt△PCD中，由勾股定理得PC²+CD²=PD²x²+3²=（2x）²，
解得（舍去負值），
∴PC=．

（2）法一：由（1）可知，PC=．
∴PB=BC-PC=3-，
又由正方形ABCD可得∠B=∠C=90°，
∴當(dāng)時，△PBQ∽△DCP，
由，
解得QB=-1，
∴當(dāng)QB=-1，時，△PBQ∽△DCP．
法二：由（1）可知，PC=．
∴PB=BC-PC=3-，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△PBQ∽△DCP，則必須有∠BPQ=∠CDP=30°，
在Rt△PBQ中，由tan∠BPQ=，可得
QB=BPtan∠BPQ=（3-）×=-1，
故當(dāng)QB=-1時，△PBQ∽△DCP．
答：（1）PC的長為；
（2）當(dāng)QB的長為-1時，△PBQ∽△DCP．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識點，綜合性強，有一定的拔高難度，利于學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識．