Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D為AC邊上中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，F(xiàn)C=3，求EF長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：首先連接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD=CD=AD，∠ABD=45°再由DE丄DF，可推出∠FDC=∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C=45°，所以△EDB≌△FDC，從而得出BE=FC=3，那么AB=7，則BC=7，BF=4，再根據(jù)勾股定理求出EF的長(zhǎng)．
解答：解：連接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D為AC邊上中點(diǎn)，
∴BD⊥AC（三線(xiàn)合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB與△FDC中，
∵，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，則BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF²=BE²+BF²=3²+4²，
∴EF=5．
答：EF的長(zhǎng)為5．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理及全等三角形的判定，關(guān)鍵是由已知先證三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的長(zhǎng)．