Question

（2012•岱岳區(qū)二模）半徑為2的⊙O與正方形ABCD相切于點P、Q，弦MN=2

3

，且MN在正方形的對角線BD上，則正方形的邊長為

4+

2

或4-

2

．

Answer 1

分析：首先取BD的中點E，連接AE，OM，ON，OP，OQ，由BD是正方形ABCD的對角線，可得AE⊥BD，又由⊙O與正方形ABCD相切于點P、Q，證得四邊形APOQ是正方形，根據切線長定理，可得AE過圓心O，則可求得OE與OA的長，可得AE的長，繼而求得答案，解題時注意對圓心位置的討論．

解答：解：①當圓心O在對角線BD的上方時，
取BD的中點E，連接AE，OM，ON，OP，OQ，
∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴AE⊥BD，
∵⊙O與正方形ABCD相切于點P、Q，
∴OP⊥AB，OQ⊥AD，
∵OP=OQ，
∴四邊形APOQ是正方形，
∴OA=

2

OQ=2

2

，
∴∠QAE=∠PAE，
∴AE過⊙O的圓心O，
∴OE⊥BD，
∵OM=ON=2，MN=2

3

，
∴OE=1，
∴AE=OA+OE=2

2

+1，
∴AB=

AE

sin45°

=

2

AE=4+2

2

，
②當圓心O在對角線BD的下方時，
有①可知AE=OA-OE=2

2

-1，
∴AB=

AE

sin45°

=

2

AE=4-2

2

故答案為：4+2

2

或4-2

2

．

點評：此題考查了切線的性質、正方形的判定與性質、切線長定理以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，利用數形結合思想求解．