Question

【題目】在等腰△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O分別與AB，AC相交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）分別延長CB，F(xiàn)D，相交于點G，∠A=60°，⊙O的半徑為6，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖所示：

∵AC=BC，OB=OD，

∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，

∴∠A=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∵OD是⊙O的半徑，

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴ABC=60°，

∵OD=OB，

∴△OBD是等邊三角形，

∴∠BOD=60°，

∵DF⊥OD，

∴∠ODG=90°，

∴∠G=30°，

∴OG=2OD=2×6=12，

∴DG= OD=6 ，

∴陰影部分的面積=△ODG的面積﹣扇形OBD的面積= ×6×6 ﹣ =18 ﹣6π

【解析】（1）連接OD，由等腰三角形的性質(zhì)證出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，證出DF⊥OD，即可得出結(jié)論；（2）證明△OBD是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6 ，陰影部分的面積=△ODG的面積﹣扇形OBD的面積，即可得出答案．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和扇形面積計算公式的相關(guān)知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）才能正確解答此題．