Question

如圖，M是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，P是線段AM的中點(diǎn)，直線CP交AB邊于點(diǎn)D．
試求

BD

AD

及

CP

PD

的值．

Answer 1

分析：作MQ∥CD交AB于Q，根據(jù)M是BC的中點(diǎn)可知Q為BD的中點(diǎn)，即BQ=DQ，可求出

BD

AD

=2，進(jìn)而可求出

CP

PD

的值．

解答：解：解法1（面積法）：令

BD

AD

=t，S_△PAD=x，連接BP，則S_△PBD=tx，
∵點(diǎn)M是△ABC的BC邊的中點(diǎn)，
∴S_△PBM=S_△PCM，S_△ABM=S_△ACM．
∴S_△ABM-S_△PBM=S_△ACM-S_△PCM，即S_△ACB=S_△ABP=（t+1）x．
又∵P是線段AM的中點(diǎn)，
∴S_△PBM=S_△PCM=S_△ACP=（t+1）x．
∵

DP

PC

=

S△ADP

S△ACP

=

S△PBD

S△PCB

，
∴

x

(t+1)x

=

tx

2(t+1)x

．
解得，t=2即

BD

AD

=2，

CP

PD

=

S△ACP

S△ADP

=

(t+1)x

x

=t+1=3；
解法2，（中位線定理及其逆定理）：
作MQ∥CD交AB于Q，
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)知Q為BD的中點(diǎn)，即BQ=DQ．
又∵P是線段AM的中點(diǎn)，可得AD=DQ．從而

BD

AD

=2．
∴CD=2MQ=4PD．
∴

CP

PD

=

CD-PD

PD

=3．

點(diǎn)評：本題考查三角形的面積及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用三角形中位線定理進(jìn)行證明．