Question

【題目】如圖，將一個正方形紙片OABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，其中A（1，0），C（0，1），P為AB邊上一個動點(diǎn)，折疊該紙片，使O點(diǎn)與P點(diǎn)重合，折痕l與OP交于點(diǎn)M，與 對角線AC交于Q點(diǎn)

（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，t）
①求點(diǎn)M的坐標(biāo)（用含t的式子表示）（直接寫出答案）
②求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含t的式子表示）（直接寫出答案）
（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動時，∠QOP的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果你認(rèn)為不發(fā)生變化，寫出它的角度的大小．并說明理由；如果你認(rèn)為發(fā)生變化，也說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）過M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，如圖1，

由題意可知M為OP中點(diǎn)，

∴E為OA中點(diǎn)，

∴OE= OA= ，ME= AP= ，

∴M點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；

（Ⅱ）①同（Ⅰ），當(dāng)P（1，t）時，可得M（ ， t）；

②過Q點(diǎn)作QD⊥OA于D，作QE⊥AB與E，連接QP．

∵Q點(diǎn)在AC上，

∴QD=AD=AE=QE，

在Rt△OQD和Rt△OPE中，

∴Rt△OQD≌Rt△OPE，

∴OD=PE，

設(shè)OD=PE=x，則AD=1﹣x，AE=t+x，則1﹣x=t+x，解得x= ，

QD=AE=t+x= ．

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）．

（Ⅲ）不變化，∠QOP=45°．

理由如下：由（Ⅱ）②可知Q點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ），

根據(jù)勾股定理得，

OQ2=OD2+QD2=（ ）2+（ ）2= ，

QP=OQ，

OP2=OA2+AP2=1+t2，

∴OQ2+QP2=OP2，

∴△OPQ是以O(shè)P為斜邊的等腰直角三角形，

∴∠QOP=45°，

即∠QOP不變化．

【解析】（Ⅰ）由題意可知M為OP中點(diǎn)，得到E為OA中點(diǎn)，得到M點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；（Ⅱ）①同（Ⅰ），當(dāng)P（1，t）時，可得M（ ，t）；②由題意得到QD=AD=AE=QE，Rt△OQD≌Rt△OPE，OD=PE，得到Q點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）；（Ⅲ）由（Ⅱ）②可知Q點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理得到OQ2+QP2=OP2，所以△OPQ是以O(shè)P為斜邊的等腰直角三角形，∠QOP不變化；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關(guān)知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和角相等．