Question

如圖，拋物線y=x²-（m+2）x+3（m-1）與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且S_△BOC=3S_△AOC，
（1）求拋物線的解析式；
（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使∠PCB=∠CAB-∠ABC？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）以AB為直徑作⊙O₁交y軸于M，N兩點(diǎn)，E為A點(diǎn)左側(cè)x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為EM的中點(diǎn)，NA的延長(zhǎng)線交O₁F于點(diǎn)Q．當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，給下列兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②AQ•O₁E的值不變，其中有且只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)你選擇正確的結(jié)論證明并求值．

Answer 1

解：（1）∵S_△BOC=3S_△AOC，
∴OB=3OA，
∵B（3，0），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），
∴1+（m+2）+3（m-1）=0，
解得m=0，
故拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，
則在△PCB中，∠PCB=∠APC-∠ABC（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），
∵∠PCB=∠CAB-∠ABC，
∴∠CAB=∠APC，
∴AC=PC，
又CO⊥AP，
∴AO=PO（等腰三角形三線合一），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，0）；
故存在點(diǎn)P（1，0），使∠PCB=∠CAB-∠ABC；

（3）當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ•O₁E的值不變．
∵A（-1，0），B（3，0），
∴=1，
∴圓心坐標(biāo)為O₁（1，0），
∴OM=ON==，
∴點(diǎn)MN的坐標(biāo)為M（0，），N（0，-），
設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（2a，0），則點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，），
設(shè)直線O₁F的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線O₁F的解析式為：y=x-①，
又點(diǎn)A、N的坐標(biāo)為A（-1，0），N（-，0），
∴直線AN的解析式為y=-x-②，
①②聯(lián)立得，
解得，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（，-），
∴AQ==||，
又∵O₁E=1-2a，
∴AQ•O₁E=||•（1-2a）=4的值不變．
即當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，AQ•O₁E的值不變，不變值為4．
分析：（1）根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊長(zhǎng)的比，由S_△BOC=3S_△AOC可知，OB=3OA，根據(jù)B（3，0）可得A（-1，0），然后把點(diǎn)A坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式即可求出m的值，拋物線關(guān)系式即可求出；
（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，只要∠APC=∠CAB即可，即PC=AC，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）先分別求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2b，0），根據(jù)點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)表示出點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法分別求出直線O₁F與NQ的解析式，從而點(diǎn)Q的坐標(biāo)可得，再利用兩點(diǎn)之間距離公式求出AQ的長(zhǎng)度，而O₁E=1-2b，從而便可確定正確的結(jié)論并求出其值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及兩點(diǎn)間距離的求法，并且運(yùn)算量較大，需要小心計(jì)算，以避免出錯(cuò)，此題難度較大．