Question

如圖，已知CE是△ABC的中線，DE⊥AB交外角∠BCF的平分線于D，∠ACB=60°，證明：BC=AC+CD．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì)

專題：證明題,轉(zhuǎn)化思想

分析：過(guò)D作DM垂直于AF，DN垂直于CB，連接AD，BD，由CD為角平分線，利用角平分線性質(zhì)得出DM=DN，證得Rt△CDM≌Rt△CDN，可得出CM=CN，由E為AB的中點(diǎn)，DE垂直于AB，得到DE為AB的垂直平分線，得到AD=BD，由DM=DN，AD=BD，證得Rt△AMD≌Rt△BND，得到AM=BN，由∠ACB為60°，得到∠DCN=∠DCM=60°，在直角三角形CND中，利用30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得出CD=2CN，同理CD=2CM，由BC=BN+CN，等量代換可得證．

解答：證明：如圖過(guò)D作DM⊥AF于點(diǎn)M，DN⊥CB于點(diǎn)N，連接AD，BD，

∵CD為∠FCB的平分線，DM⊥AF，DN⊥CB，
∴DM=DN，又CD=CD，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CM=CN，
又∵E為AB中點(diǎn)，DE⊥AB，
∴AD=BD，
在Rt△AMD和Rt△BND中，

MD=ND AD=BD

，
∴Rt△AMD≌Rt△BND（HL），
∴AM=BN，
∵∠ACB=60°，CD為∠FCB平分線，
∴∠MCD=∠NCD=60°，
在Rt△CND中，∠CDN=30°，
可得CD=2CN，
同理CD=2CM，
∴CD=2CM=CM+CN，
∴BC=BN+CN=AC+CM+CN=AC+CD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及等量代換的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．