Question

5．E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分別是F、G．若CG=6，CF=4，則AE的長為$2\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 先用正方形的性質(zhì)得出結(jié)論，判斷出，△ABE≌△CBE，得出AE=CE，然后判斷出四邊形EFCG是矩形，用勾股定理求出CE即可．

解答 解：如圖，連接CE，

∵BD是正方形的對(duì)角線，
∴∠BCD=90°，∠ABE=∠CBE=45°，AB=BC
在△ABE和△CBE中$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EGC=∠∠CFE=90°，
∴∠EGC=∠CFE=∠BCD=90°，
∴四邊形EFCG是矩形，
∴EF=CG=6，
根據(jù)勾股定理得，CE=$\sqrt{E{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是正方形的性質(zhì)，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是判斷出AE=CE．