如圖,在△ABC中,AC=BC=5,∠C=90°,在平面內(nèi),△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)α,對應得△AB′C′,以B′C′為直徑的圓第一次與直線AB相切時,sinα=
 
考點:切線的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)
專題:綜合題
分析:設圓心為O,切點為D,連接OD,OA,可得OD⊥AB,再根據(jù)∠C′=∠ODA=90°,得到AC′與圓O相切,利用HL得到三角形AOC′與三角形AOD全等,利用全等三角形對應邊相等得到∠OAC′=∠OAD=
1
2
∠C′AB=
1
2
(α+45°),AC′=AD,利用銳角三角函數(shù)定義求出sin∠OAD與cos∠OAD的值,再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式求出sin(α+45°)與cos(α+45°)的值,根據(jù)sinα=sin[(α+45°)-45°],利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,將各自的值代入計算即可求出值.
解答:解:設圓心為O,切點為D,連接OD,OA,可得OD⊥AB,
在Rt△AOC′和Rt△AOD中,
AO=AO
OC′=OD
,
∴Rt△AOC′≌Rt△AOD(HL),
∴∠OAC′=∠OAD=
1
2
∠C′AB=
1
2
(α+45°),AC′=AD,
在Rt△AOD中,OD=2.5,AD=AC′=5,
根據(jù)勾股定理得:OA=
AD2+OD2
=
5
5
2

∴sin∠OAD=
OD
OA
=
5
5
,cos∠OAD=
AD
OA
=
2
5
5
,
∴sin(α+45°)=sin∠C′AB=sin2∠OAD=2sin∠OADcos∠OAD=
4
5
,cos(α+45°)=cos∠C′AB=cos2∠OAD=cos2∠OAD-sin2∠OAD=
3
5
,
∴sinα=sin[(α+45°)-45°]=sin(α+45°)cos45°-cos(α+45°)sin45°=
2
2
×(
4
5
-
3
5
)=
2
10

故答案為:
2
10
點評:此題考查了切線的性質(zhì),兩角和與差的正弦函數(shù)公式,二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式,熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關鍵.
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A、
23
4
B、
3
4
C、
23
4
D、-
3
4

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若下列各式有意義,求字母的取值范圍.
(1)
x+1
; 
(2)
1
x-1
x+2
; 
(3)
a2+3

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如圖,∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°.
(1)求證:AD∥CE;
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