如圖,等邊三角形ABC的邊長為8cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/秒的速度沿AC方向向終點(diǎn)C運(yùn)動,同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以1cm/秒的速度沿CB方向向終點(diǎn)B運(yùn)動,過點(diǎn)P、Q分別作邊AB的垂線段PM、QN,垂足分別為點(diǎn)M、N.
設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒(0<t<4),四邊形MNQP的面積為Scm2
(1)當(dāng)點(diǎn)P、Q在運(yùn)動的過程中,t為何值時,△PCQ是直角三角形?
(2)求四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動時間t變化的函數(shù)關(guān)系式.
(3)是否存在某一時刻t,使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由.

【答案】分析:(1)利用當(dāng)PC=2CQ時以及當(dāng)2PC=CQ時,△PCQ是直角三角形分別求出即可;
(2)△APM和△BQN都是有一個角是60°的直角三角形,根據(jù)勾股定理可分別求出AM,PM,BN和QN,然后求出直角梯形的高M(jìn)N.用梯形面積公式求出四邊形MNQP的面積S隨運(yùn)動時間t變化的函數(shù)關(guān)系式.
(3)根據(jù)題意確定一個等量關(guān)系,列出方程即可解得t的值,然后看是否滿足0<t<4.
解答:解:(1)假設(shè)△PCQ為直角三角形,
①∵∠C=60°,
∴PC=2CQ
∴8-2t=2t,
解得t=2,
當(dāng)t=2時,△PCQ是直角三角形;
②當(dāng)2PC=CQ時,
由PC=2CQ可得:2(8-2t)=t,
解得t=,
∴當(dāng)t=時,△PCQ是直角三角形;
綜上所述:t=2或時,△PCQ是直角三角形;


(2)根據(jù)題意得,AP=2t,QB=8-t,△APM和△QNB是直角三角形,四邊形MNQP是直角梯形.
在Rt△APM和Rt△QNB中
所以MN=AB-AM-BN=,,
 ;

(3)假設(shè)存在某一時刻t,使四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的,
即S=S△ABC,
整理得:t2=8,
解得,(舍去),
答:當(dāng)時,四邊形MNQP的面積S等于△ABC的面積的
點(diǎn)評:本題綜合考查了正三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì),把函數(shù)和面積融合在一起,比較復(fù)雜,檢測學(xué)生的計算能力.
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精英家教網(wǎng)已知:如圖,等邊三角形AOB的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=
3
x
(x>0)的圖象上,點(diǎn)B在x軸上.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求直線AB的函數(shù)表示式;
(3)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使△OAP是等腰三角形?若存在,直接把符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)都寫出來;若不存在,請說明理由.

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如圖,等邊三角形ABC中,D、E分別為AB、BC邊上的兩動點(diǎn),且總使AD=BE,AE與CD交于點(diǎn)F,AG⊥CD于點(diǎn)G,則
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(1)設(shè)△EGA的面積為S,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)t為何值時,AB⊥GH.

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[    ]

A.5   B.4    C.3   D.2

 

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