Question

16．如圖，有兩條互相平行的直線l₁，l₂，點(diǎn)A，B在直線l₁上，點(diǎn)D，C在直線l₂上，連接AD，BC．已知∠ADC=90°，AB=3，DC=6，BC=5．點(diǎn)E是線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB的延長線上，且AE=AF，連接EF，與線段BC相交于點(diǎn)G．
（1）求線段AD的長；
（2）求線段BF最大值與最小值；
（3）連接BE，F(xiàn)C，當(dāng)BE∥CF時(shí)，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）作BM⊥CD于M，證出四邊形ADMB是矩形，由矩形的性質(zhì)得出AD=BM，DM=AB=3，因此CM=DC-DM=3，由勾股定理求出BM，即可得出結(jié)果；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)，BF有最大值，連接AC，由勾股定理求出AC，得出AF，即可得出BF的最大值=2$\sqrt{13}$-3；
當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，BF有最小值，由AF=AE=AD=4，即可得出BF的最小值=1；
（3）當(dāng)BE∥CF時(shí)，四邊形BECF是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)得出BF=CE，設(shè)BF=CE=x，則AE=AF=AB+BF=3+x，DE=DC-CE=6-x，在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作BM⊥CD于M，如圖1所示：
∵∠ADC=90°，
∴BM∥AD，
∵l₁∥l₂，
∴四邊形ADMB是矩形，
∴AD=BM，DM=AB=3，
∴CM=DC-DM=3，
∴AD=BM=$\sqrt{B{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4；
（2）當(dāng)點(diǎn)E與C重合時(shí)，BF有最大值，連接AC，如圖2所示：
則AE=AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，
∴AF=AE=2$\sqrt{13}$，BF的最大值=2$\sqrt{13}$-3；
當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，BF有最小值，
∵AF=AE=AD=4，
∴BF的最小值=4-3=1；
（3）如圖3所示：當(dāng)BE∥CF時(shí)，四邊形BECF是平行四邊形，
∴BF=CE，
設(shè)BF=CE=x，則AE=AF=AB+BF=3+x，DE=DC-CE=6-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD²+DE²=AE²，
即4²+（6-x）²=（x+3）²，
解得：x=$\frac{43}{18}$，
即BF的長為$\frac{43}{18}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，特別是（3）中，需要根據(jù)題意畫出圖形，運(yùn)用勾股定理得出方程才能得出結(jié)果．