Question

如圖，△ABC內接于⊙O，點D在⊙O上，AD⊥AB于點A，AD與BC交于點E，F在DA的延長線上，且∠C=∠ABF．
（1）試判斷BF與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若點A是弧BC的中點，且BF=3，求BE的長．

Answer 1

解：（1）BF與⊙O的位置關系是相切，
證明：連接OB、OA，連接BD，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD=90°，
∴∠D+∠DBA=90°，
∵∠D=∠C，∠C=∠ABF，
∴∠ABF+∠DBA=90°，
∴OB⊥BF，
∵OB是半徑，
∴BF是⊙O切線．

（2）∵A為弧BAC的中點，
∴弧AB=弧AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠C=∠ABF，
∴∠EBA=∠ABF，
∵∠BAD=90°=∠BAF，
在△BEA和△BFA中
∵，
∴△BEA∽△BFA，
∴BF=BE=3．
分析：（1）連接OB、OA或連接BD，由AB=AC，則∠D=∠C，由∠D+∠DBA=90°，推出∠ABD+∠FBA=90°，推出OB⊥BF即可；
（2）推出∠C=∠ABC=∠ABF，根據ASA證△BEA∽△BFA，推出BF=BE即可．
點評：此題考查了切線的判定和性質，全等三角形的性質和判定，圓周角定理等知識點的應用，主要考查學生證明一直線是圓的切線的判定方法，運用全等三角形證明線段相等的方法，綜合性較強，難度偏上．