Question

【題目】如圖，已知：AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD是⊙O的切線，AD⊥CD于點(diǎn)D.E是AB延長線上一點(diǎn)，CE交⊙O于點(diǎn)F,連結(jié)OC,AC.

(1)求證:AC平分∠DAO；

(2)若∠DAO=105°，∠E=30°；

①求∠OCE的度數(shù). ②若⊙O的半徑為 ，求線段CF的長.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析;(2)①45°;②4

【解析】試題分析：

(1) 要證AC平分∠DAO，就是要證∠DAC=∠OAC. 觀察圖形易知，在等腰三角形AOC中，∠OAC=∠OCA. 根據(jù)切線的性質(zhì)定理可知，OC⊥CD，結(jié)合已知條件易知AD∥OC. 利用內(nèi)錯(cuò)角的相等關(guān)系，可以證明∠OCA=∠DAC，進(jìn)而證明AC平分∠DAO.

(2) 由AD∥OC可知，∠DAO=∠EOC. 在△COE中，利用已知條件和三角形內(nèi)角和，可以求得∠OCE的度數(shù). 觀察圖形可知，線段CF是⊙O的一條弦. 考慮利用垂徑定理的相關(guān)知識(shí)求解線段CF的長. 過圓心O作弦CF的垂線，垂足設(shè)為G，則點(diǎn)G為弦CF的中點(diǎn). 根據(jù)垂直關(guān)系和∠OCE的度數(shù)不難發(fā)現(xiàn)△OGC是等腰直角三角形. 結(jié)合已知條件，在△OGC中利用勾股定理可以求得線段CG的長，進(jìn)而得到線段CF的長.

試題解析：

(1) 證明：

∵直線CD與⊙O相切，點(diǎn)C在⊙O上，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，OC⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC=∠OCA.

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠DAC=∠OAC，

∴AC平分∠DAO.

(2) ①∵AD∥OC，∠DAO=105°，

∴∠EOC=∠DAO=105°，

∵∠E=30°，

∴在△COE中，∠OCE=180°-∠EOC-∠E=180°-105°-30°=45°.

②

如圖，過點(diǎn)O作OG⊥CE，垂足為G.

根據(jù)垂徑定理，得FG=CG.

∵OG⊥CE，∠OCE=45°，即∠OCG=45°，

∴在Rt△OGC中，∠COG=∠OCG=45°，

∴CG=OG.

∵⊙O的半徑為，

∴OC=，

∴在Rt△OGC中， .

∴CG=2.

∵FG=CG，

∴.