Question

【題目】如圖甲，直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，經(jīng)過B、C兩點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使以C，P，M為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）當(dāng)0＜x＜3時(shí)，在拋物線上求一點(diǎn)E，使△CBE的面積有最大值（圖乙、丙供畫圖探究）．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，△CBE的面積最大．

【解析】

試題分析：（1）由直線解析式可求得B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）由拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，可設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，表示出MC、MP和PC的長，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，可分別得到關(guān)于M點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）過E作EF⊥x軸，交直線BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，可設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，表示出F點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出EF的長，進(jìn)一步可表示出△CBE的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其取得最大值時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、點(diǎn)C，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐標(biāo)代入拋物線解析式可得 ，解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴拋物線對(duì)稱軸為x=2，P（2，﹣1），

設(shè)M（2，t），且C（0，3），

∴MC=，MP=|t+1|，PC=，

∵△CPM為等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三種情況，

①當(dāng)MC=MP時(shí)，則有=|t+1|，解得t=，此時(shí)M（2，）；

②當(dāng)MC=PC時(shí)，則有=2，解得t=﹣1（與P點(diǎn)重合，舍去）或t=7，此時(shí)M（2，7）；

③當(dāng)MP=PC時(shí)，則有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此時(shí)M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)M，其坐標(biāo)為（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

（3）如圖，過E作EF⊥x軸，交BC于點(diǎn)F，交x軸于點(diǎn)D，

設(shè)E（x，x2﹣4x+3），則F（x，﹣x+3），

∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EFOD+EFBD=EFOB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，

∴當(dāng)x=時(shí)，△CBE的面積最大，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

即當(dāng)E點(diǎn)坐標(biāo)為（，）時(shí)，△CBE的面積最大．