Question

（2013•南京二模）閱讀材料，回答問題：
如果二次函數(shù)y₁的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)y₂的圖象上，同時二次函數(shù)y₂的圖象的頂點(diǎn)在二次函數(shù)y₁的圖象上，那么我們稱y₁的圖象與y₂的圖象相伴隨．
例如：y=（x+1）²+2圖象的頂點(diǎn)（-1，2）在y=-（x+3）²+6的圖象上，同時y=-（x+3）²+6圖象的頂點(diǎn)
（-3，6）也在y=（x+1）²+2的圖象上，這時我們稱這兩個二次函數(shù)的圖象相伴隨．

（1）說明二次函數(shù)y=x²-2x-3的圖象與二次函數(shù)y=-x²+4x-7的圖象相伴隨；
（2）如圖，已知二次函數(shù)y₁=

1

4

（x+1）²-2圖象的頂點(diǎn)為M，點(diǎn)P是x軸上一個動點(diǎn)，將二次函數(shù)y₁的圖象繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到一個新的二次函數(shù)y₂的圖象，且旋轉(zhuǎn)前后的兩個函數(shù)圖象相伴隨，y₂的圖象的頂點(diǎn)為N．
①求二次函數(shù)y₂的關(guān)系式；
②以MN為斜邊作等腰直角△MNQ，問y軸上是否存在滿足要求的點(diǎn)Q？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象相伴隨的定義分析結(jié)合兩函數(shù)的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而分析得出即可；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出這兩個函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，即可得出N點(diǎn)、N′點(diǎn)坐標(biāo)，再利用圖象過M點(diǎn)進(jìn)而得出解析式；
②設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，m），則MN²=32，MQ²=m²+4m+5，利用當(dāng)點(diǎn)N取（3，2）時，以及當(dāng)點(diǎn)N取（-5，2）時，分別求出即可．

解答：解：（1）二次函數(shù)y=x²-2x-3=（x-1） ²-4，圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），
二次函數(shù)y=-x²+4x-7=-（x-2） ²-3圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），
①當(dāng)x=1時，y=-x²+4x-7=-4，
∴點(diǎn)（1，-4）二次函數(shù)y=-x²+4x-7圖象上，
②當(dāng)x=2時，y=x²-2x-3=-3，
∴點(diǎn)（2，-3）在二次函數(shù)y=x²-2x-3圖象上，
所以，二次函數(shù)y=x²-2x-3圖象與二次函數(shù)y=-x²+4x-7圖象相伴隨．

（2）①∵旋轉(zhuǎn)前后的兩個函數(shù)圖象相伴隨，
∴y₂的圖象的頂點(diǎn)N必在二次函數(shù)y₁=

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（x+1）²-2圖象上，
∵y₂的圖象是二次函數(shù)y₁=

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（x+1）²-2圖象繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到，
∴這兩個函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)P對稱，
∴如圖，y₂圖象的頂點(diǎn)可能位于y₁=

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（x+1）²-2圖象對稱軸的右側(cè)（點(diǎn)N）或左側(cè)（點(diǎn)N′），
分別過M、N作MA⊥x軸，NB⊥x軸，垂足分別為A、B，
∵在△APM和△BPN中，

∠MAP=∠NBP ∠APM=∠NBP MP=PN

，
∴△APM≌△BPN（AAS），
∴NB=AM=2，
同理可求，N′B′=AM=2，
當(dāng)y=2時，

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（x+1）²-2=2，
解得 x₁=3，x₂=-5，
∴N（3，2），N′（-5，2），
當(dāng)N是y₂圖象頂點(diǎn)時，
設(shè)y₂=a（x-3）²+2（a≠0），
把M（-1，-2）代入關(guān)系式，得：
a=-

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，
∴y₂=-

1

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（x-3）²+2，
當(dāng)N′是y₂圖象頂點(diǎn)時，同理可求，y₂=-

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（x+5）²+2，
綜上所述，y₂=-

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（x-3）²+2或y₂=-

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（x+5）²+2，

②設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，m），則MN²=32，MQ²=m²+4m+5，
i：當(dāng)點(diǎn)N取（3，2）時，NQ²=m²-4m+13，
令MQ²=NQ²，則m²+4m+5=m²-4m+13，m=1，
∴MQ²+NQ²=20≠M(fèi)N²，
∴當(dāng)N（3，2）時，不存在符合條件的Q點(diǎn)，使得△MNQ是等腰直角三角形；
ii：當(dāng)點(diǎn)N�。�-5，2）時，NQ²=m²-4m+29，
令MQ²=NQ²，則m²+4m+5=m²-4m+29，m=3，
∴MQ²+NQ²=52≠M(fèi)N²，
∴當(dāng)N（-5，2）時，不存在符合條件的Q點(diǎn)，使得△MNQ是等腰直角三角形；
綜上所述，不存在符合條件的Q點(diǎn)，使得△MNQ是等腰直角三角形．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想得出是解題關(guān)鍵．