Question

某玩具由一個(gè)圓形區(qū)域和一個(gè)扇形區(qū)域組成，如圖，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁與O₂C、O₂D分別相切于A、B，∠CO₂D=60°，直線O₁O₂與⊙O₁、扇形O₂CD分別交于E、F兩個(gè)點(diǎn)，EF=24cm，設(shè)⊙O₁的半徑為xcm，

（1）用含x的代數(shù)式表示扇形O₂CD的半徑；
（2）若⊙O₁和扇形O₂CD兩個(gè)區(qū)域的制作成本分別為0.45元／cm²和0.06／cm²元，當(dāng)⊙O₁的半徑為多少時(shí)，該玩具成本最小？

Answer 1

（1）（24－3x）cm；（2）4cm

試題分析：（1）連接O₁A.根據(jù)切線的性質(zhì)可得O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D，由∠CO₂D=60°可得∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°，在Rt△O₁AO₂中，根據(jù)∠AO₂O₁的正弦函數(shù)可表示出O₁O₂的長(zhǎng)，從而得到結(jié)果；
（2）設(shè)該玩具的制作成本為y元，根據(jù)“⊙O₁和扇形O₂CD兩個(gè)區(qū)域的制作成本分別為0.45元／cm²和0.06／cm²元”，再結(jié)合圓的面積公式、扇形的面積公式根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.
（1）連接O₁A.

∵⊙O₁與O₂C、O₂D分別切一點(diǎn)A、B，
∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D.
∵∠CO₂D=60°，
∴∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°.
在Rt△O₁AO₂中，，
∴O₁O₂=AO₁sin∠AO₂O₁ =xsin30°=2x.   
∵EF=24cm，
∴FO₂=EF－EO₁－O₁O₂=24－3x，即扇形O₂CD的半徑為（24－3x）cm；
（2）設(shè)該玩具的制作成本為y元，由題意得

∴當(dāng)x=4時(shí)，y的值最小
答：當(dāng)⊙O₁的半徑為4cm時(shí)，該玩具的制作成本最小。
點(diǎn)評(píng)：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．