Question

（2013•攀枝花）如圖，分別以直角△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．給出如下結(jié)論：
①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④FH=

1

4

BD
其中正確結(jié)論的為

①③④

（請(qǐng)將所有正確的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析：根據(jù)已知先判斷△ABC≌△EFA，則∠AEF=∠BAC，得出EF⊥AC，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDF=30°，從而證得△DBF≌△EFA，則AE=DF，再由FE=AB，得出四邊形ADFE為平行四邊形而不是菱形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD=4AG，從而得到答案．

解答：解：∵△ACE是等邊三角形，
∴∠EAC=60°，AE=AC，
∵∠BAC=30°，
∴∠FAE=∠ACB=90°，AB=2BC，
∵F為AB的中點(diǎn)，
∴AB=2AF，
∴BC=AF，
∴△ABC≌△EFA，
∴FE=AB，
∴∠AEF=∠BAC=30°，
∴EF⊥AC，故①正確，

∵EF⊥AC，∠ACB=90°，
∴HF∥BC，
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴HF=

1

2

BC，
∵BC=

1

2

AB，AB=BD，
∴HF=

1

4

BD，故④說(shuō)法正確；

∵AD=BD，BF=AF，
∴∠DFB=90°，∠BDF=30°，
∵∠FAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠DFB=∠EAF，
∵EF⊥AC，
∴∠AEF=30°，
∴∠BDF=∠AEF，
∴△DBF≌△EFA（AAS），
∴AE=DF，
∵FE=AB，
∴四邊形ADFE為平行四邊形，
∵AE≠EF，
∴四邊形ADFE不是菱形；
故②說(shuō)法不正確；

∴AG=

1

2

AF，
∴AG=

1

4

AB，
∵AD=AB，
則AD=4AG，故③說(shuō)法正確，
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解決本題需先根據(jù)已知條件先判斷出一對(duì)全等三角形，然后按排除法來(lái)進(jìn)行選擇．