【題目】如圖,平行四邊形ABCD的邊OA在x軸上,將平行四邊形沿對角線AC對折,AO的對應(yīng)線段為AD,且點D,C,O在同一條直線上,AD與BC交于點E.
(1)求證:△ABC≌△CDA.
(2)若直線AB的函數(shù)表達(dá)式為,求三角線ACE的面積.
【答案】(1)證明見詳解;(2)
【解析】
(1)利用平行四邊形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì),可得出CD=AB,∠DCA=∠BAC,結(jié)合AC=CA可證出△ABC≌△CDA(SAS);
(2)由點D,C,O在同一直線上可得出∠DCA=∠OCA=90°,利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可得出點A的坐標(biāo)及OA的長度,由OC∥AB可得出直線OC的解析式為y=x,進(jìn)而可得出∠COA=45°,結(jié)合∠OCA=90°可得出△AOC為等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得出OC、AC的長,結(jié)合(1)的結(jié)論可得出四邊形ABDC為正方形,再利用正方形的面積公式結(jié)合S△ACE=S正方形ABDC可求出△ACE的面積.
(1)證明:∵四邊形ABCO為平行四邊形,
∴AB=CO,AB∥OC,
∴∠BAC=∠OCA.
由折疊可知:CD=CO,∠DCA=∠OCA,
∴CD=AB,∠DCA=∠BAC.
在△ABC和△CDA中,
,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
(2)解:∵∠DCA=∠OCA,點D,C,O在同一直線上,
∴∠DCA=∠OCA=90°.
當(dāng)y=0時,x-6=0,解得:x=6,
∴點A的坐標(biāo)為(6,0),OA=6.
∵OC∥AB,
∴直線OC的解析式為y=x,
∴∠COA=45°,
∴△AOC為等腰直角三角形,
∴AC=OC=.
∵AB∥CD,AB=CD=AC,∠DCA=90°,
∴四邊形ABDC為正方形,
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC的頂點B坐標(biāo)為(4,6),點P為線段OA上一動點(與點O、A不重合),連接CP,過點P作PE⊥CP交AB于點D,且PE=PC,過點P作PF⊥OP且PF=PO(點F在第一象限),連結(jié)FD、BE、BF,設(shè)OP=t.
(1)直接寫出點E的坐標(biāo)(用含t的代數(shù)式表示):_____;
(2)四邊形BFDE的面積記為S,當(dāng)t為何值時,S有最小值,并求出最小值;
(3)△BDF能否是等腰直角三角形,若能,求出t;若不能,說明理由.
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【題目】如圖,反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=k2x-k2+2在同一直角坐標(biāo)系中的圖象相交于A,B兩點,其中A(-1,3),直線y=k2x-k2+2與坐標(biāo)軸分別交于C,D兩點,下列說法:①k1,k2<0;②點B的坐標(biāo)為(3,-1);③當(dāng)x<-1時,<k2x-k2+2;④tan∠OCD=-,其中正確的是( )
A. ①③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
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【題目】如圖,在數(shù)軸上點表示數(shù),點表示數(shù),點表示數(shù),且點在點的左側(cè),同時、滿足,.
(1)由題意:______,______,______;
(2)當(dāng)點在數(shù)軸上運動時,點到、兩點距離之和的最小值為______.
(3)動點、分別從點、沿數(shù)軸負(fù)方向勻速運動同時出發(fā),點的速度是每秒個單位長度,點的速度是每秒2個單位長度,求運動幾秒后,?
(4)在數(shù)軸上找一點,使點到、、三點的距離之和等于10,請直接寫出所有的點對應(yīng)的數(shù).(不必說明理由)
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【題目】如圖,矩形ABCD的頂點A在x軸的正半軸上,頂點D在y軸的正半軸上,點B、點C在第一象限,sin∠OAD=,線段AD、AB的長分別是方程x2﹣11x+24=0的兩根(AD>AB).
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)求直線AB的解析式;
(3)在直線AB上是否存在點M,使以點C、點B、點M為頂點的三角形與△OAD相似?若存在,請直接寫出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】某工廠制作甲、乙兩種窗戶邊框,已知同樣用12米材料制成甲種邊框的個數(shù)比制成乙種邊框的個數(shù)少1個,且制成一個甲種邊框比制成一個乙種邊框需要多用的材料.
(1)求制作每個甲種邊框、乙種邊框各用多少米材料?
(2)如果制作甲、乙兩種邊框的材料共640米,要求制作乙種邊框的數(shù)量不少于甲種邊框數(shù)量的2倍,求應(yīng)最多安排制作甲種邊框多少個(不計材料損耗)?
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【題目】如圖,將繞點C順時針旋轉(zhuǎn),使點B落在AB邊上點處,此時點A的對應(yīng)點恰好落在BC的延長線上,下列結(jié)論錯誤的是
A. B.
C. D. 平分
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【題目】如圖所示,線段EF過平行四邊形ABCD的對角線的交點O,交AD于點E,交BC于點F。已知AB=4,BC=5,EF=3,那么四邊形EFCD的周長是_____.
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【題目】已知:點在同一條直線上,點為線段的中點,點為線段的中點.
(1)如圖1 ,當(dāng)點在線段上時.
①若,則線段的長為_______.
②若點為線段上任意一點, ,則線段的長為_______. ( 用含的代數(shù)式表示)
(2)如圖2 ,當(dāng)點不在線段上時,若,求的長(用含的代數(shù)式表示) .
(3)如圖,已知 ,作射線,若射線平分,射線平分.
①當(dāng)射線在的內(nèi)部時,則 =________°.
②當(dāng)射線在 的外部時,則 =_______°. ( 用含的代數(shù)式表示) .
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