Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－1,0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），經(jīng)過點(diǎn)A點(diǎn)B拋物線y＝x＋bx＋c與y軸交于點(diǎn)C.

（1）求拋物線的關(guān)系式.

（2）△ABC的外接圓與y軸交于點(diǎn)D，在拋物線上是否存在點(diǎn)M使S△MBC＝S△DBC,若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）點(diǎn)P是直線y＝－x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PB,PC,當(dāng)PB＋PC＋PO最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及其最小值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線關(guān)系式：y＝x－3x－4；（2）點(diǎn)M（5,6）（3）P（2－， －2）

【解析】試題分析：（1）用代入法直接求函數(shù)解析式；（2）存在，連接AD，過點(diǎn)D做直線l∥BC，則求出直線l的關(guān)系式為：y＝x＋1，再求它與的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可；（3）把△BPO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BFE，連接FP得等邊△BFP， 則PB＋PC＋PO＝PC＋PF＋FE，所以連接EC與直線y＝－x交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求. 先求出直線EC關(guān)系式為:y＝(＋2)x－4，再聯(lián)立y＝－x得出P的坐標(biāo)即可；

試題解析：

(1)把點(diǎn)A（－1,0），點(diǎn)B（4，0）代入y＝x＋bx＋c得：

解得：

∴0拋物線關(guān)系式：y＝x－3x－4

(2)連接AD，

把x＝0代入y＝x＋bx＋c得y＝－4.

∴OC＝OB＝4.

∴∠ABC＝45°.

∴∠ADC＝45°

∵OA＝1，

∴OD＝1

過點(diǎn)D做直線l∥BC，則直線l的關(guān)系式為：y＝x＋1

聯(lián)立拋物線關(guān)系式得：

解得

∴點(diǎn)M（5,6）

(3)把△BPO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BFE，

連接FP得等邊△BFP，

∴PB＋PC＋PO＝PC＋PF＋FE

∴連接EC與直線y＝－x交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求.

在等邊△OBE中

∵OB＝4

∴點(diǎn)E(2, )

又∵點(diǎn)C(0,－4)

∴直線EC關(guān)系式為:y＝(＋2)x－4

聯(lián)立y＝－x得

點(diǎn)P（2－， －2）