Question

取一副三角板按如圖所示拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A順時針方向旋轉，旋轉角度為α（0°＜α≤45°），得到△ABC′．

①當α為多少度時，AB∥DC？
②當旋轉到圖③所示位置時，α為多少度？
③連接BD，當0°＜α≤45°時，探求∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小變化情況，并給出你的證明．

Answer 1

解：（1）如圖②，
∵AB∥DC，
∴∠BAC=∠C=30°，
∴α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°，
所以當α=15°時，AB∥DC；

（2）當旋轉到圖③所示位置時，α=45°，
（3）當0°＜α≤45°時，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．
證明：連接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，∠BOD=∠COC′，
∴∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，
∴∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=∠BDO+∠α+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C+∠α
=180°-∠ACD-∠AC′B，
=180°-45°-30°=105°，
∴當0°＜α≤45°時，∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．
分析：（1）若AB∥DC，則∠BAC=∠C=30°，得到α=∠BAC′-∠BAC=45°-30°=15°；
（2）當旋轉到圖③所示位置時，α=45°，
（3）連接CC′，BD，BO，在△BDO和△OCC′中，利用三角形內角和定理得到∠BDO+∠DBO=∠OCC′+∠OC′C，即可求得∠DBC′+∠CAC′+∠BDC=105°，即得到∠DBC′+∠CAC′+∠BDC值的大小不變．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了三角形的內角和定理．