Question

如圖13，已知直線y=4-x與反比例函數y= (m>0,x>0)的圖象交于A、B兩點，與x軸、y軸分別相交于C、D兩點.

(1)如果點A的橫坐標為1，利用函數圖象求關于x的不等式4-x<的解集；

(2)是否存在以AB為直徑的圓經過點P(1,0)？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）∴點A的橫坐標為1，點A在直線

y=4-x 的圖象上，y=4-1=3,

∴點A的坐標為（1，3），

點A在反比例函數y= (m>0,x>0)的圖象的

圖象上，m = xy =3 ,

     ∵點A、B是直線y=4-x與反比例函數

y= (x>0)的圖象的交點，∴4-x= ,

解得x=1或x=3,點B的橫坐標為3，∴4-x< 的解集為  x<1或x>3 。

（2）存在以AB為直徑的圓經過點P(1,0)。

連結AP、BP，分別過點A、B作x軸的垂線AE、BF，垂足分別為點E、F。

4-x=,x²-4x+m=0, 令a、b是該方程的解，則a + b = 4, b = 4 – a ，

令點A的坐標為（a,4-a），則點B的坐標為（4-a,a）；

以AB為直徑的圓經過點P（1，0），則∠APB=90º，

∠APB+∠EPA+∠FPB=180 º ，∠EPA+∠FPB=90º，∵AE⊥x軸，BF⊥x軸，

∴∠AEP=∠PFB=90º，∠EAP+∠EPA=90º，∠EPA=∠FPB，△AEP∽△PFB，

= , = ,   a=2+     或    a=2-

4-a=2-         4-a=2+ ，

∵點A（2+ ，2- ） 或（2- ，2+ ）在反比例函數

y= (m>0,x>0)的圖象上，∴ m =(2+ )(2- )= .