Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=kx（k≠0）經過點（a，$\sqrt{3}$a）（a＞0），線段BC的兩個端點分別在x軸與直線y=kx上（點B、C均與原點O不重合）滑動，且BC=2，分別作BP⊥x軸，CP⊥直線y=kx，交點為P．經探究，在整個滑動過程中，P、O兩點間的距離為定值$\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 可先求得k的值，可得∠BOC=60°，再由條件可知O、B、P、C四點共圓，OP為直徑，設圓心為D，分別連接CD和BD，過D作DE⊥BC于點E，由垂徑定理可求得BE，用可知∠BDE=60°，在Rt△BDE中可求得BD的長，從而可求得直徑．

解答 解：
∵直線y=kx（k≠0）經過點（a，$\sqrt{3}$a）（a＞0），
∴$\sqrt{3}$a=ka，
∴k=$\sqrt{3}$，
∴∠BOC=60°，
又由題意可知∠PCO=∠PBO=90°，
∴∠PCO+∠PBO=180°，
∴O、B、P、C四點共圓，OP為直徑，
如圖，設圓心為D，分別連接CD和BD，過D作DE⊥BC于點E，
則BE=$\frac{1}{2}$BC=1，
∵∠BDC=2∠BOC=120°，
∴∠BDE=60°，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD，
在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD²=DE²+BE²，
即BD²=$\frac{1}{4}$BD²+1，
解得BD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴OP=2BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{4}{3}\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查圓的性質及解直角三角形，由條件得出OP為圓的直徑是解題的關鍵．