Question

已知：△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠B=90°，AB=BC=1．
（1）要在這張紙板上剪出一個(gè)正方形，使這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)都在△ABC的邊上．小林設(shè)計(jì)出了一種剪法，如圖1所示．請(qǐng)你再設(shè)計(jì)出一種不同于圖1的剪法，并在圖2中畫出來．
（2）若按照小林設(shè)計(jì)的圖1所示的剪法來進(jìn)行裁剪，記圖1為第一次裁剪，得到1個(gè)正方形，將它的面積記為S₁，則S₁=

1

4

；在余下的2個(gè)三角形中還按照小林設(shè)計(jì)的剪法進(jìn)行第二次裁剪（如圖3），得到2個(gè)新的正方形，將此次所得2個(gè)正方形的面積的和記為S₂，則S₂=

1

8

；在余下的4個(gè)三角形中再按照小林設(shè)計(jì)的剪法進(jìn)行第三次裁剪（如圖4），得到4個(gè)新的正方形，將此次所得4個(gè)正方形的面積的和記為S₃；按照同樣的方法繼續(xù)操作下去…，第n次裁剪得到

2^n-1

個(gè)新的正方形，它們的面積的和S_n=

1

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）利用斜邊長的

1

3

，向斜邊作垂線得出正方形即可；
（2）根據(jù)題意，可求得S₁，S₂，S₃，同理可得規(guī)律：S_n即是第n次剪取后面積和，根據(jù)此規(guī)律求解即可答案．

解答：解：（1）如圖所示；

（2）∵四邊形DBFE是正方形，
∴DE=EF=BF=DE，∠EFC=∠ADE=90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A=∠C=45°，
∴AD=DE=EF=CF=BF=BD=EF，
∵AB=BC=1，
∴DE=EF=

1

2

，
∴S_{正方形DBFE}=S₁=

1

2

×

1

2

=

1

4

；
同理：S₂即是第二次剪取后的面積和，
S_n即是第n次剪取后的面積和，
∴第一次剪取后的面積和為：S₁=

1

22

=

1

4

，
第二次剪取后的面積和為：S₂=

1

4

×

1

4

×2=

1

23

=

1

8

，
第三次剪取后剩余三角形面積和為：S₃=

1

8

×

1

8

×4=

1

24

=

1

16

，
…
第n次剪取后面積和為：S_n=

1

2n

×

1

2n

×2^n-1=

1

2n+1

．
故答案為：

1

4

，

1

8

，2^n-1，

1

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圖形的剪拼和正方形的性質(zhì)以及圖形變化規(guī)律等知識(shí)，注意得出圖形變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．