Question

在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，四邊形OABC為平行四邊形，OA=2，∠AOC=60°，以O(shè)A為直徑的⊙P經(jīng)過點(diǎn)C，點(diǎn)D在y軸上，DM為始終與y軸垂直且與AB邊相交的動(dòng)直線，設(shè)DM與AB邊的交點(diǎn)為M（點(diǎn)M在線段AB上，但與A、B兩點(diǎn)不重合），點(diǎn)N是DM與BC的交點(diǎn)，設(shè)OD=t；
（1）求點(diǎn)A和B的坐標(biāo)；
（2）設(shè)△BMN的外接圓⊙G的半徑為R，請(qǐng)你用t表示R及點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)⊙G與⊙P相外切時(shí)，求直角梯形OAMD的面積．

Answer 1

分析：（1）利用直徑對(duì)的圓周角的直角．連接AC，易知OC=1，又∠AOC=60°，易求A點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，1），再利用平行四邊形的性質(zhì)知AB=OC=1，即可求解；
（2）因?yàn)镈M⊥y軸，且ABCD是平行四邊形，所以⊙G的圓心G在BN的中點(diǎn)處．
然后作GH⊥x軸于H，交DM于F，GK⊥BM于K，則有FM=

1

2

BM，而BM=2-t，所以MN=

3

（2-t）．
設(shè)G的坐標(biāo)為（x，y），則有x=DM-

1

2

MN，y=OD+

1

2

BM，點(diǎn)G坐標(biāo)可求．
（3）根據(jù)外切的性質(zhì)，連接PG，則PG=3-t①；
再作PE⊥GH于E，根據(jù)勾股定理PG=

PE2+GE2

，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)，表示PG=

t2-t+1

②．
解①②組成的方程組，求出t值，再分別求出AM、DM值，即可求解．

解答：解：（1）連接AC．
∵OA為⊙P的直徑，
∴∠ACO=90°．
又∵OA=2，∠AOC=60°，
∴OC=1，AC=

3

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

3

，1）．
又四邊形OABC為平行四邊形，
∴AB∥OC，AB=OC，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

3

，2）．

（2）∵DM⊥y軸，且AB∥OC，
∴DM⊥AB，
∴∠NMB=90°．
∴G是圓心G為BN的中點(diǎn)．
又∵∠B=∠AOC=60°，
∴BM=

1

2

BN=R．
而點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2，點(diǎn)M的縱坐標(biāo)=點(diǎn)D的縱坐標(biāo)=t，
∴BM=2-t，
∴R=2-t．
過點(diǎn)G作GH∥y軸，交x軸于點(diǎn)H，交DM于點(diǎn)F．
過點(diǎn)G作GK∥x軸，交AB于點(diǎn)K．
根據(jù)垂徑定理，得到
FM=

1

2

MN，KM=

1

2

BM．
設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，y），
∵NM=

3

（2-t），
∴x=DM-

1

2

MN=

3

-

3

2

（2-t）=

3

2

t，
y=OD+

1

2

BM=t+

1

2

（2-t）=1+

1

2

t，
∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（

3

2

t，1+

1

2

t）．

（3）連接GP．過點(diǎn)P作PE∥x軸，交GH于點(diǎn)E．
由PE⊥GE，根據(jù)勾股定理，得
GP=

PE2+GE2

=

( 3 2 t- 3 2 )2+(1+ t 2 - 1 2 )2

=

t2-t+1

．
當(dāng)⊙G與⊙P外切時(shí)，PG=R+1，
∴

t2-t+1

=3-t，
解得t=

8

5

，
經(jīng)檢驗(yàn)t=

8

5

是原方程的根．
此時(shí)，OD=t=

8

5

，AM=1-MB=

3

5

，DM=AC=

3

．
∴直角梯形OAMD的面積為：
S=

OD+AM

2

•DM=

( 8 5 + 3 5 )

2

×

3

=

11

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、平行四邊形的性質(zhì)、圓周角的性質(zhì)、勾股定理、直角梯形、垂徑定理等知識(shí)．
本題是代數(shù)幾何綜合型的試題．