Question

18．如圖，矩形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B的坐標(biāo)為（8，6），A、C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PC=m，已知點(diǎn)D在第一象限，且是直線y=2x-6中上的一點(diǎn)．若△APD是等腰Rt△，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）或（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．

Answer 1

分析 可分為當(dāng)∠ADP=90°，D在AB上方和下方，當(dāng)∠APD=90°時(shí)三種情況，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)，列出方程解決問(wèn)題．

解答 解：①如圖1中，當(dāng)∠ADP=90°，D在AB下方，

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（a，2a-6），過(guò)點(diǎn)D作EF∥OC交OA于E，交BC于F，
則OE=2a-6，AE=AO-OE=12-2a，
在△ADE和△DPF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠DFP}\\{∠ADE=∠DPF}\\{AD=DP}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△DPF，
∴AE=DF=12-2a，
∵EF=OC=8，
∴a+12-2a=8，
∴a=4．
此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)（4，2）．
②如圖2中，當(dāng)∠ADP=90°，D在AB上方，

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（a，2a-6），過(guò)點(diǎn)D作EF∥OC交OA于E，交CB的延長(zhǎng)線于F，
則OE=2a-6，AE=OE-OA=2a-12，
由△ADE≌△DPF，得到DF=AE=2a-12，
∵EF=8，
∴a+2a-12=8，
∴a=$\frac{20}{3}$，
此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）．
③如圖3中，當(dāng)∠APD=90°時(shí)，

設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)（a，2a-6），作DE⊥CB的延長(zhǎng)線于E．同理可知△ABP≌△EPD，
∴AB=EP=8，PB=DE=a-8，
∴EB=2a-6-6=8-（a-8），
∴a=$\frac{28}{3}$，
此時(shí)點(diǎn)D坐標(biāo)（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，2）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）或（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．
故答案為（4，2）或（$\frac{20}{3}$，$\frac{22}{3}$）或（$\frac{28}{3}$，$\frac{38}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)及分類討論思想等知識(shí)點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，考慮問(wèn)題要全面，屬于中考填空題中的壓軸題．