【題目】將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板,疊放在一起,使得它們的斜邊AB重合,直角邊不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC與BD相交于點(diǎn)E,連接CD.

(1)填空:如圖1,AC的長(zhǎng)度= ,tanABD= ;

(2)試判斷ADC與AEB的關(guān)系,并說明理由;

(3)如圖2建立平面直角坐標(biāo)系,保持ABD不動(dòng),將ABC向x軸的正方向平移到FGH的位置,F(xiàn)H與BD相交于點(diǎn)P,設(shè)AF=t,FBP面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.

【答案】(1)4,;(2)ADC∽△AEB,理由見解析;(3)S=(8﹣t)2,t的取值范圍為:0t8

【解析】

試題分析:(1)首先根據(jù)題意得:DCAB,ADB=ACB=90°,ABD=CAB=30°,然后由勾股定理,求得AC與BD的長(zhǎng),(2)根據(jù)兩個(gè)含30°的直角三角板直接求出DAC=EAB=30°,AEB=ADC=120,即可得出ADC∽△AEB.(3)過P作出FBP的高.FBP面積應(yīng)等于FB×PK÷2,易得FB=AB﹣AF=8﹣t;則KB等于FB的一半,利用30°的正切值可求得FK的值.

試題解析:(1)根據(jù)題意得:DCAB,ADB=ACB=90°,ABD=CAB=30°,

AB=8,BC=AD=4,

AC=BD=4,ABD=30°,

tanABD=tan30°=

(2)ADC∽△AEB,

理由:∵∠BAD=ABC=60°,BAC=ABD=30°,

∴∠DAC=CBD=BAC=30°,AE=BE,

∴∠AEB=180°﹣EAB﹣EBA=120°,

AC=BD,

ED=EC,

∴∠BDC=ACD=(180°﹣DEC)=30°,

∵∠ADB=90°

∴∠ADC=ADB+BDC=120°=AEB,

∵∠DAC=BAC,

∴△ADC∽△AEB,

(3)(3)由題意知,F(xiàn)PAE,

∴∠1=PFB,

∵∠1=2=30°,

∴∠PFB=2=30°,

FP=BP

過點(diǎn)P作PKFB于點(diǎn)K,則FK=BK=FB.

AF=t,AB=8,

FB=8﹣t,BK=(8﹣t).

在RtBPK中,PK=BKtan2=(8﹣t)tan30°=(8﹣t).

∴△FBP的面積S=FBPK=(8﹣t)(8﹣t),

S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為:

S=(8﹣t)2,

t的取值范圍為:0t8

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B.6.767×1012
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