Question

11．如圖a，有兩個(gè)全等的正三角形ABC和DEF，點(diǎn)D、C分別為△ABC、DEF的內(nèi)心；固定點(diǎn)D，將△DEF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得DF經(jīng)過點(diǎn)C，如圖b，則圖a中四邊形CNDM與圖b中△CDM面積的比為（　�。�

• A． 2：1
• B． 2：$\sqrt{3}$
• C． 4：3
• D． $\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 連接MN、CD．由等三角形的性質(zhì)可知∠DCM=30°，設(shè)MN的長為a，CD=$\sqrt{3}$a，由四邊形CNDM的面積=$\frac{1}{2}$MN•CD可求得四邊形CNDM的面積，然后在△DCM中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得DM、CM的長，依據(jù)三角形的面積公式可求得△CDM的面積，從而可求得答案．

解答 解：如圖所示：連接MN、CD．

設(shè)MN的長為a，CD=$\sqrt{3}$a，則四邊形CNDM的面積=$\frac{1}{2}$MN•CD=$\frac{1}{2}$×a×$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
∵∠DCM=30°，∠CDM=60°，
∴DM=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，CM=$\frac{3}{2}$a．
∴△CDM=$\frac{1}{2}$DM•CM=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}a}{2}$×$\frac{3a}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$a²．
∴四邊形CNDM與圖b中△CDM面積的比=4：3．
故選；C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是三角形的內(nèi)心、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得MN、DC、DM、CM之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．