Question

21、已知△ABC中∠BAC=30°，∠ABC=80°，在△ABC內(nèi)取一點K，使△BCK為正三角形，求∠KAC的度數(shù)．

Answer 1

分析：作△ABC的外接圓圓O，作BC的垂直平分線EF，則EF過O點，連接OB、0C，推出∠BOC=∠BKC，進而推出K和O重合，即K點是△ABC的外心，即KA=KC，由三角形的內(nèi)角和定理和等邊三角形求出∠ACK的度數(shù)即可求出答案．

解答：解：作△ABC的外接圓圓O，作BC的垂直平分線EF，則EF過O點，連接OB、0C，

∵∠A=30°，∠B=80°
∴∠ACB=180°-30°-80°=70°
∵∠A=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵△BCK為正三角形，
∴∠KCB=∠BKC=60°，BK=CK，
∴∠BOC=∠BKC
∴K也在EF上，且和O都在△ABC內(nèi)，
∴K、O重合，
即K是△ABC的外接圓是圓心，
∴KA=KB=KC，
∠KAC=∠ACK=70°-60°=10°．

點評：本題主要考查了三角形的外接圓和外心，等邊三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，圓周角定理等知識點，作△ABC的外接圓和證K和O重合是解題的關(guān)鍵．難點是正確作輔助線．