當(dāng)n=1,2,3,…,2003時,求所有二次函數(shù)y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1的圖象與x軸上所截得的線段長度之和.
分析:根據(jù)二次函數(shù)與x軸兩交點(diǎn)間的距離公式,列出關(guān)于n的表達(dá)式,將n=1,2,3,…,2003分別代入表達(dá)式,求出n等于不同值時兩點(diǎn)間的長度,再計(jì)算其和即可.
解答:解:因?yàn)椤?(2n+1)
2-4(n
2+n)=4n
2+1+4n-4n
2-4n=1>0,
所以無論n為何值,二次函數(shù)與x軸均有兩個交點(diǎn).
二次函數(shù)y=(n
2+n)x
2-(2n+1)x+1的圖象與x軸上所截得的線段長為|x
1-x
2|=
,
當(dāng)n=1,n=2,n=3,…,2003時,
二次函數(shù)y=(n
2+n)x
2-(2n+1)x+1的圖象與x軸上所截得的線段長分別為:
,
,
,
,
,
,…,
,
于是所有線段的長度之和為:
+
+
+
+
+
+…+
=1-
+
-
+
-
+
-
+
…+
-
=1-
=
.
故答案為:
.
點(diǎn)評:此題考查了二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用,此題在計(jì)算時要找到數(shù)字的變化規(guī)律,使計(jì)算簡便.
[相關(guān)鏈接]二次函數(shù)y=ax
2+bx+c圖象與x軸交點(diǎn)間的距離公式:|x
1-x
2|=
.