Question

如圖，已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，AD=2，點(diǎn)P為梯形內(nèi)部一點(diǎn)，若PB=PC，且PA⊥PD．
（1）求證：PA=PD；
（2）求PA的長(zhǎng)．

Answer 1

解：
（1）解法一：
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB．
又PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABP=∠DCP．
∴△ABP≌△DCP．
∴PA=PD．
解法二：∵PB=PC，
∴點(diǎn)P在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上．
∵線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)也是等腰梯形ABCD的邊AD的垂直平分線(xiàn)，
即點(diǎn)P也在線(xiàn)段AD的垂直平分線(xiàn)上，
∴PA=PD．

（2）在Rt△PAD中，PA²+PD²=AD²
即：2PA²=2²
．
分析：（1）因?yàn)锳B=CD，BP=CP，所以∠ABC=∠DCB，∠PBC=∠PCB從而得出∠ABP=∠DCP，再利用SAS判定△ABP≌△DCP即可得到PA=PD．
（2）在Rt△PAD中，已知AD=2，根據(jù)勾股定理即可得到PA的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了學(xué)生對(duì)等腰梯形的性質(zhì)及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的掌握情況，要求學(xué)生做題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)已知進(jìn)行靈活運(yùn)用從而求解．