Question

（2010•鞍山）如圖：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，給出以下五個(gè)結(jié)論：
①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S_{四邊形AEPF}=S_△ABC．當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），上述結(jié)論中始終正確的序號(hào)有    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，容易證明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①②③⑤都是正確的，④不正確．
解答：解：∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，
∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．
①在△AEP與△CFP中，
∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，
∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正確；
②由①知，△AEP≌△CFP，
∴∠APE=∠CPF．正確；
③由①知，△AEP≌△CFP，
∴PE=PF．又∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形．正確；
④只有當(dāng)F在AC中點(diǎn)時(shí)EF=AP，故不能得出EF=AP，錯(cuò)誤；
⑤∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．
∴S_{四邊形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△BPE=S_△ABC．正確．
故正確的序號(hào)有①②③⑤．
點(diǎn)評(píng)：本題利用了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)．