Question

如圖，在△ABC中，∠BCA=60°，∠A=45°，AC=2

6

，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動(dòng)圓與CB，CA分別相交于點(diǎn)M，N，則線段MN長(zhǎng)度的最小值是（　�。�

• A、3
• B、2

  3

• C、2

  2

• D、

  6

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：

分析：作CF⊥AB于點(diǎn)F，以CF為直徑作圓交CB，CA分別相交于點(diǎn)M，N，則線段MN的長(zhǎng)度最小，由已知可求出直徑，再根據(jù)∠MON=120°求出MN即可．

解答：解：如圖：作CF⊥AB于點(diǎn)F，以CF為直徑作圓交CB，CA分別相交于點(diǎn)M，N，則線段MN的長(zhǎng)度最小，
∵圓的直徑最小，∠MON是定值，
∴線段MN此時(shí)長(zhǎng)度的最小，
∵∠CFA=90°，∠A=45°，AC=2

6

，
∴CF=

AC

2

=

2 6

2

=2

3

，
∵∠BCA=60°，
∴∠MON=120°，
作OE⊥MN于點(diǎn)E，則∠MOE=60°，
∵OM=

3

，
∴ME=

3

2

，
∴MN=2ME=3，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出最短的直徑，此時(shí)線段MN長(zhǎng)度的最小．