Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：
（1）Rt△BEF≌Rt△BEC；
（2）BD=2CE．

Answer 1

分析：（1）求出∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°，根據(jù)ASA推出兩三角形全等即可．
（2）根據(jù)全等三角形性質(zhì)求出CF=2CE，證△ABD≌△ACF，推出BD=CF即可．

解答：證明：（1）∵BD是∠ABC的平分線，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC=90°，
在Rt△BEF和Rt△AEC中，

∠FBE=∠CBE BE=BE ∠BEF=∠BEC

，
∴Rt△BEF≌Rt△AEC（ASA）．

（2）∵Rt△BEF≌Rt△AEC，
∴BF=BC，
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
在△ABD和△ACF中，

∠F=∠ADB ∠FAC=∠BAD AB=AC

，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∵CF=2CE，
∴BD=2CE．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．