Question

將函數(shù)y=

3

3

x的圖象向上平移2個(gè)單位，得到一個(gè)新函數(shù)，平移前后的兩個(gè)函數(shù)圖象分別與y軸交于O、A兩點(diǎn)，與直線x=-

3

分別交于C、B兩點(diǎn)．
（1）求這個(gè)新函數(shù)的解析式；
（2）判斷以A、B、C、O四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形形狀，并說明理由；
（3）若（2）中的四邊形（不包括邊界）始終覆蓋著二次函數(shù)y=x²-2bx+b²+

1

2

的圖象的一部分，求滿足條件的實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)y=

3

3

x的圖象向上平移2個(gè)單位得出一個(gè)新函數(shù)為y=

3

3

x+2．
（2）依題意得出AB∥CO，BC∥AO推出四邊形AOCB為平行四邊形，然后由勾股定理可得AB=AO可推出平行四邊形AOCB為菱形．
（3）把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式后可得拋物線頂點(diǎn)在直線y=

1

2

上移動(dòng)．分別把點(diǎn)A、B代入二次函數(shù)求出b的取值范圍．

解答：解：（1）y=

3

3

x+2．（2分）

（2）答：四邊形AOCB為菱形（3分）
由題意可得AB∥CO，BC∥AO，AO=2
∴四邊形AOCB為平行四邊形（4分）
易得A（0，2），B(-

3

，1)．
由勾股定理可得AB=2，
∴AB=AO（5分）
∴平行四邊形AOCB為菱形（6分）

（3）二次函數(shù)y=x2-2bx+b2+

1

2

，
化為頂點(diǎn)式為：y=(x-b)2+

1

2

（7分）
∴拋物線頂點(diǎn)在直線y=

1

2

上移動(dòng)
假設(shè)四邊形的邊界可以覆蓋到二次函數(shù)，
則B點(diǎn)和A點(diǎn)分別是二次函數(shù)與四邊形接觸的邊界點(diǎn)
將B(-

3

，1)，
代入二次函數(shù)，
解得b=-

3

-

2

2

，b=-

3

+

2

2

（不合題意，舍去）（8分）
將A（0，2），代入二次函數(shù)，
解得b=

6

2

，b=-

6

2

（不合題意，舍去）（9分）
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍：-

3

-

2

2

＜b＜

6

2

．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)與圖象相結(jié)合的有關(guān)知識(shí)，難度較大．