Question

已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如圖）．E是射線BC上的動點（點E與點B不重合），M是線段DE的中點．

 

 

（1）設(shè)BE=x，△ABM的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；

（2）如果以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，求線段BE的長；

（3）聯(lián)結(jié)BD，交線段AM于點N，如果以A、N、D為頂點的三角形與△BME相似，求線段BE的長．

 

Answer 1

【答案】

（1）取中點，聯(lián)結(jié)，

為的中點，，．

又，．

∵，得；

（2）由已知得．

以線段AB為直徑的圓與以線段DE為直徑的圓外切，

，            

即． 

解得，即線段的長為；

（3）由已知，以為頂點的三角形與相似，

又易證得．

由此可知，另一對對應(yīng)角相等有兩種情況：

①；②．

①當(dāng)時，，

．．

，易得．得； 

②當(dāng)時，，

．

．又，

．

，即，              

得．

解得，（舍去）．即線段BE的長為2．   

綜上所述，所求線段BE的長為8或2．

【解析】（1）△ABM中，已知了AB的長，要求面積就必須求出M到AB的距離，如果連接AB的中點和M，那么這條線就是直角梯形的中位線也是三角形ABM的高，那么AB邊上的高就是（AD+BE）的一半，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出y，x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）根據(jù)以AB，DE為直徑的圓外切，那么可得出的是AD+BC=AB+DE，那么可根據(jù)BE，AD的差和AB的長，用勾股定理來表示出DE，然后根據(jù)上面分析的等量關(guān)系得出關(guān)于x的方程，即可求出x的值，即BE的長；

（3）如果三角形ADN和BME相似，一定不相等的角是∠ADN和∠MBE，因為AD∥BC，如果兩角相等，那么M與D重合，顯然不合題意．因此本題分兩種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)∠ADN=∠BME時，∠DBE=∠BME，因此三角形BDE和MBE相似，可得出關(guān)于DE，BE，EM的比例關(guān)系式，即可求出x的值．

②當(dāng)∠AND=∠BEM時，∠ADB=∠BEM，可根據(jù)這兩個角的正切值求出x的值．