Question

已知，在邊長為6的正方形ABCD的兩側(cè)如圖作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三點在一直線上，連接MF交線段AD于點P，連接NP，設正方形BEFG的邊長為x，正方形DMNK的邊長為y，
（1）求y關于x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍；
（2）當△NPF的面積為32時，求x的值；
（3）以P為圓心，AP為半徑的圓能否與以G為圓心，GF為半徑的圓相切？若能請求x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由正方形的性質(zhì)和三角形相似解答即可；
（2）由正方形的性質(zhì)和平行線分線段成比例以及三角形的面積解答即可；
（3）由兩圓相切的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及勾股定理解決問題．
解答：解：（1）∵四邊形BEFG、DMNK、ABCD是正方形，
∴∠E=∠F=90°，AE∥MC，MC∥NK，
∴AE∥NK，
∴∠KNA=∠EAF，
∴△KNA∽△EAF，
∴，
即，
∴y=x+6（0＜x≤6）；

（2）由（1）可知：NK=AE，
∵四邊形DMNK是正方形，
∴AP∥NM，
∴，
∴AN=AF，
∵NK=AE，∠K=∠E，
∴△KNA≌△EAF，
∴FP=PM，
∴S_△MNP=S_△NPF=32，
∴S_{正方形DMNK}=2S_△MNP=64，
∴y=8，
∴x=2；

（3）連接PG，延長FG交AD于H點，則GH⊥AD．
易知：；
HG=6；．
①當兩圓外切時，在Rt△GHP中，PH²+HG²=PG²即，
∵y=x+6，
代入整理得：x²+6x-18=0，
解得：（負值舍去），
②當兩圓內(nèi)切時，在Rt△GHP中，PH²+HG²=PG²即，
∵y=x+6，
代入整理得：36=0，
方程無解，
所以，當時，這兩個圓相切．
點評：此題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理以及兩圓相切的性質(zhì)．