Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E是AD上一點(diǎn)，∠BED=135°，BE=，DC=，DE=．求：
（1）點(diǎn)C到直線AD的距離；
（2）線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）如圖，過點(diǎn)C作CF⊥AD于F．
∵四邊形ABCD中，∠ADC=120°，
∴∠CDF=60°．
在Rt△CDF中，∵∠CFD=90°，∠CDF=60°，DC=，
∴CF=CD•sin∠CDF=3，DF=CD•cos∠CDF=．
即點(diǎn)C到直線AD的距離為3；

（2）如圖，過點(diǎn)A作AG∥BC，交CF于G，則四邊形ABCG是平行四邊形，
∴CG=AB，BC=AG．
在Rt△ABE中，∵∠BAE=90°，∠AEB=45°，BE=2，
∴AB=AE=2，
∴FG=CF-AB=3-2=1．
在Rt△AFG中，∵∠AFG=90°，F(xiàn)G=1，AF=AE+DE+DF=2+2-+=4，
∴AG==，
∴BC=AG=．
分析：（1）過點(diǎn)C作CF⊥AD于F，則點(diǎn)C到直線AD的距離為CF的長(zhǎng)度，解Rt△CDF，由∠CFD=90°，∠CDF=60°，DC=，即可求出CF=CD•sin∠CDF=3，則點(diǎn)C到直線AD的距離為3；
（2）過點(diǎn)A作AG∥BC，交CF于G，則四邊形ABCG是平行四邊形，CG=AB，BC=AG，再解Rt△ABE，求出AB=AE=2，那么FG=CF-AB=1，然后在Rt△AFG，運(yùn)用勾股定理求出AG的長(zhǎng)度，則BC=AG．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，難度適中，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．